Question

已知函数f(x)=ln(1+x)/(1-x) 设实数k使得f(x)>k(x+x^3/3)对x属于(0, 1)恒成立，求k

已知函数f(x)=ln(1+x)/(1-x) 设实数k使得f(x)>k(x+x^3/3)对x属于(0, 1)恒成立，求k的最大值 用洛必达定理怎么解

Answer 1

f(x)=ln(1+x)-x+(k/2)x^2
f'(x)=1/(1+x)-1+2x(k/2)
=1/(1+x)-1+kx
=(1-(1+x)+kx(1+x))/(1+x)
=(kx^2+kx-x)/(1+x)
=x(kx+k-1)/(1+x)
因为
ln(1+x)
中，1+x>0，x>-1
若
k=0，则
f'(x)=-x/(1+x)
当-1<x<0，f'(x)>0，f(x)单调递增
当
x>0，f'(x)<0，f(x)单调递减
若
k>0，则
f'(x)=0，x1=0,x2=1/k-1
当k>1时，x2<0，
当
1/k-1<x<0，f'(x)>0，f(x)单调递增
当
-1<x<1/k-1或x>0，f'(x)<0，f(x)单调递减
当k=1时，x2=0，f'(x)=x^2/(1+x)>0，f(x)单调递增
当0<k<1时，x2>0，
当
0<x<1/k-1，f'(x)>0，f(x)单调递增
当
-1<x<0或x>1/k-1，f'(x)<0，f(x)单调递减