定积分计算,这个定积分怎么算?
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∫ sec³tdt
=∫sectdtant
=sect·tant-∫tantdsect
=sect·tant-∫sect·tan²tdt
=sect·tant-∫sect·(sec²t-1)dt
=sect·tant-∫(sec³t-sect)dt
则可得2∫sec³tdt=sect·tant+∫sectdt
=sect·tant+ln|sect+tant|+C
所以∫sec³tdt=1/2 sect·tant+1/2 ln|sect+tant|+C
题目所求∫(0,x) sec³tdt
其中x=arctan(4/3),则tanx=4/3
sec²x=1+tan²x=1+16/9=25/9
secx=5/3
那么∫(0,x) sec³tdt
=(1/2 sect·tant+1/2 ln|sect+tant|) |(0,x)
=1/2 secx·tanx+1/2 ln|tanx+secx|
=1/2×5/3×4/3+1/2 ln(4/3+5/3)
=10/9+ln∨3
=∫sectdtant
=sect·tant-∫tantdsect
=sect·tant-∫sect·tan²tdt
=sect·tant-∫sect·(sec²t-1)dt
=sect·tant-∫(sec³t-sect)dt
则可得2∫sec³tdt=sect·tant+∫sectdt
=sect·tant+ln|sect+tant|+C
所以∫sec³tdt=1/2 sect·tant+1/2 ln|sect+tant|+C
题目所求∫(0,x) sec³tdt
其中x=arctan(4/3),则tanx=4/3
sec²x=1+tan²x=1+16/9=25/9
secx=5/3
那么∫(0,x) sec³tdt
=(1/2 sect·tant+1/2 ln|sect+tant|) |(0,x)
=1/2 secx·tanx+1/2 ln|tanx+secx|
=1/2×5/3×4/3+1/2 ln(4/3+5/3)
=10/9+ln∨3
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