Question

拉格朗日插值和牛顿插值的异同？

拉格朗日插值和牛顿插值的异同？ 请有此方面研究的专家不吝赐教 一楼"Newton法是靠不停迭代来逼近函数方程的解的 它实际上是通过曲线一系列切线与x轴的交点的横坐标 来逼近曲线与x轴的交点的横坐标的." 这句话太深奥了？麻烦再解释下好吧 二楼的说的比较详细，也好懂，我也是数学的，老师要求这方面的深入研究，所以我来网上求助达人。呵呵

Answer 1

一、含义不同：

两者都是通过给定n+1个互异的插值节点，求一条n次代数曲线近似地表示待插值的函曲线，这就叫做代数插值；Lagrange插值代数和Newton法插值都属于代数插值的范畴。

Lagrange插值和Newton法插值的结果和余项都是一致的，因为都是利用n次多项式插值，所以一致。

二、计算不同：

Lagrange插值法是通过构造n+1个n次基本多项式，线性组合而得到的。而Newton法插值是通过求各阶差商，递推得到的一个f（x）=f（x0）+（x-x0）f［x0，x1］+（x-x0）（x-x1）f［x0，x1，x2］+（x-x0）（x-x（n-1））f［x0，x1，xn］这样的公式，代进去就可以得到。

牛顿插值法的特点在于：

每增加一个点，不会导致之前的重新计算，只需要算和新增点有关的就可以。

假设已知n+1n+1个点相对多项式函数ff的值为：（x0，f（x0）），（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（xn，f（xn）），求此多项式函数f。

先从求满足两个点（x0，f（x0）），（x1，f（x1））的函数f1（x）说起：

假设f1（x）=f（x0）+b1（x−x0）f1（x）=f（x0）+b1（x−x0），增加一个点，（x0，f（x0）），（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），求满足这三个点的函数f2（x）：

假设f2（x）=f1（x）+b2（x−x0）（x−x1）

以上内容参考：百度百科-牛顿插值法

Answer 2

在构造难易上，两种插值法相近；
但是拉格朗日插值法没有继承性，而牛顿插值法具有继承性，所以牛顿插值法比拉格朗日插值法更为优越

Answer 3

余项和基本原理都没啥区别，只是当增加第n+1个节点的时候。用牛顿差值方法的话前n项的式子不用变，再增加一个式子就行了。而用拉的差值方法的话要改变所有的式子（n+1个）。

Answer 4

Lagrange插值就是用Lagrange多项式，
把插值结点代进去
求和以逼近所要求的函数值
Newton法是靠不停迭代来逼近函数方程的解的
它实际上是通过曲线一系列切线与x轴的交点的横坐标
来逼近曲线与x轴的交点的横坐标的

Answer 5

一、性质不同
1、牛顿插值：代数插值方法的一种形式。牛顿差值引入了差商的概念，使其在差值节点增加时便于计算。
2、拉格朗日插值：满足插值条件的、次数不超过n的多项式是存在而且是唯一的。
二、公式意义不同
1、牛顿插值：牛顿差值作为一种常用的数值拟合方法，由于其计算简单、计算点多、逻辑清晰、编程方便等特点，在实验分析中得到了广泛的应用。
特别是在实验中，当只能测量离散数据点或用数值解表示相应的关系时，可以用牛顿插值公式拟合离散点，得到更精确的函数解析值。
2、拉格朗日插值：在许多实际问题中，函数被用来表示某些内部关系或规律，许多函数只能通过实验和观察来理解。如果实际观测到一个物理量，并在多个不同的地点得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，它可以精确地提取每个观测点的观测值。
扩展资料：
拉格朗日插值的发现：
在数值分析中，拉格朗日插值法是由18世纪法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。在数学上，拉格朗日插值法可以给出一个多项式函数，它只通过二维平面上的几个已知点。
拉格朗日插值法最早由英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。1795年，拉格朗日在《师范学校数学基础教程》一书中发表了这种插值方法，从此拉格朗日的名字就和这个方法联系在一起。
参考资料来源：搜狗百科-牛顿插值公式
参考资料来源：搜狗百科-拉格朗日插值法