Question

数列{a n }的前n项和为S n ，已知 a 1 = 1 2 ， S n = n 2 a n -n(n-1) ，n=1，2

数列{a n }的前n项和为S n ，已知 a 1 = 1 2 ， S n = n 2 a n -n(n-1) ，n=1，2，…写出S n 与S n-1 的递推关系式（n≥2），并求S n 关于n的表达式．

Answer 1

由S
n
=n
2
a
n
-n（n-1）（n≥2），
得：S
n
=n
2
（S
n
-S
n-1
）-n（n-1），即（n
2
-1）S
n
-n
2
S
n-1
=n（n-1），
所以
n+1
n
S
n
-
n
n-1
S
n-1
=1
，对n≥2成立．
由
n+1
n
S
n
-
n
n-1
S
n-1
=1
，
n
n-1
S
n-1
-
n-1
n-2
S
n-2
=1
，
3
2
S
2
-
2
1
S
1
=1
，
相加得：
n+1
n
S
n
-2
S
1
=n-1
，又
S
1
=
a
1
=
1
2
，
所以
S
n
=
n
2
n+1
，
当n=1时，也成立．