Question

微分方程问题,y''+(y')^2=1,求通解

Answer 1

此题为可降阶的二阶微分方程中y''=f(y,y')型的微分方程
此类方程特点是 方程右端不显含自变量x.
作变量代换dy/dx=y'=P（y） 则y''=dP/dy * dy/dx=P*P'
代入原方程可得 P*P'+P^2=1
即 PdP=(1-P^2)dy
整理可得 -1/2[1/(1+P)+1/(p-1)]dP=dy
积分得 -1/2ln|p^2 - 1|=y+C C为常数
下面再代入P=dy/dx,即可解得该微分方程的通解.
思路就讲到这,后面的过程我就不赘述了,相信楼主童鞋可以自己完成~~