Question

简单复合函数求导

Answer 1

复合函数的求导公式

Answer 2

Answer 3

前面我们了解了一些简单函数的求导。所谓简单函数y=f(x)，是指自变量x和因变量y之间，只有一次函数法则或是一次函数法则结果的加减乘除。例如：y=tgx+3x；y=e^x/sinx；y=lnx*√x。都可以用我们前面讲过的方法进行求导。

当一个函数的自变量x，通过一次函数法则u=u(x)，得到的因变量u；而因变量u则是另一个函数y=y(u)的自变量时，就构成了个复合函数y=y[u（x）]。例如：y=sin(x^2)；y=e^sinx；y=ln(tgx)。
那么，遇到这样的复合函数该如何求导呢。
我们先回顾一下求导的定义式，y'=f'(x)=lim Δy/Δx，Δx→0。
那么，对于u=u(x)，有u'(x)=lim Δu/Δx，Δx→0;
对于y=y(u)，有y'(u)=lim Δy/Δu，Δu→0;
相应的，y'(x)=lim Δy/Δx，Δx→0;
=lim (Δy/Δu)*(Δu/Δx)，Δx→0;
=lim (Δy/Δu)*lim(Δu/Δx)，Δx→0，Δu→0;
=y'(u)*u'(x)
也就是说，复合函数y=y[u（x）]的导数等于两个简单导数y=y(u)和u=u(x)各自导数的乘积。

根据上述内容，我们来对前面提到的三个复合函数y=sin(x^2)；y=e^sinx；y=ln(tgx)进行求导。
1、y=sin(x^2)
设u=x^2，则y=sinu，分别对其求导，得u'(x)=2x，y'(u)=cosu，于是y'(x)=2x*cosu，把u=x^2替换回来，得y'(x)=2x*cos(x^2)。
2、y=e^sinx
直接计算，得y'(x)=cosx*e^sinx。
3、y=ln(tgx)
直接计算，得y'(x)=sec^2 x*(1/tgx)。