Question

讨论曲线y=x x/(x^2-1)的凹凸性及拐点

Answer 1

y=ln√(1+x^2)的两阶导数为y=(1-x^2)/(1+x^2)^2,所以当x＞＝1或＜＝－1为凸弧,＞＝－1且＜＝1为凹弧;拐点是(－1,ln根号2)和(1,ln根号2)。

y''=2x(x^2+3)(x^2-1)/(x^2-1)^4。

令y''=0，得x=0或x=1或x=-1。

y''＞0 x＞1或-1＜x＜0 y''＜0 0＜x＜1或x＜-1。

所以拐点为（0，0） 在（-∞，-1）U(0,1)上是凸的，在（-1，0）U(1,+∞）上是凹的。

拐点的求法

可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：

⑴求f''(x)。

⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点。

Answer 2

y=ln√(1+x^2)的两阶导数为y=(1-x^2)/(1+x^2)^2,所以当x＞＝1或＜＝－1为凸弧,＞＝－1且＜＝1为凹弧;拐点是(－1,ln根号2)和(1,ln根号2)