Question

已知函数f（x）=lnx-a(x-1)x+1．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）...

已知函数f（x）=lnx-a(x-1)x+1． （Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）设p，q∈R+，且p＞q，求证：p-qlnp-lnq＜p+q2．

Answer 1

解：（Ⅰ）：∵f（x）=lnx-a(x-1)x+1，
∴f′（x）=1x-a(x+1)-a(x-1)(x+1)2=x2+(2-2a)x+1x(x+1)2，
∵函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，
∴∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即x2+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴2a-2≤x+1x≤2，当且仅当x=1时取等号，
∴a≤2，
故实数a的取值范围为（-∞，2]，
（Ⅱ）证明：要证p-qlnp-lnq＜p+q2，
只需要证：pq-1lnpq＜pq+12，
即证lnpq＞2(pq-1)pq+1＞0，
设h（x）=lnx-2(x-1)x+1，
由（Ⅰ）知函数在（1，+∞）上为单调递增函数，又pq＞1，
∴h（pq）＞h（1）=0，
即lnpq-2(pq-1)pq+1＞0，
∴p-qlnp-lnq＜p+q2．