Question

已知数列An中A1=a(a>0),An+1=An-(1/An) (n∈N)

若A3>0,求a的取值范围 当a>1时,求f(a)=a(a3-5a)的最大值,并求此时a的值 是否存在正数a,使AnA(n+1)>0对任意 n∈N 恒成立

Answer 1

1.A1=a
A2=a-1/a
A3=a-1/a-1/(a-1/a)
A3>0
a-1/a-1/(a-1/a)>0
当a-1/a>0
(a-1/a)^2>0
a>（1+根号5）/2
当a-1/a<0
(a-1/a)^2<0
1>a>（根号5-1）/2
2.f(a)=-4a^2-1-a^2/(a^2-1)
=-(4a^2-4+a^2/(a^2-1))-5
a>1
a^2-1>0
4a^2-4+a^2/(a^2-1)>=2根号4a^2=4a
f(a)<=-4a-5
取到等号时，4a^2-4=a^2/(a^2-1)
a=（1+根号17）/4
3.AnA(n+1)=An^2-1
又知，An-(1/An)是增函数
所以A1最小，只要A1^2-1>0,则AnA(n+1)>0对任意
n∈N
恒成立
a^2>1
a>1
所以存在