Question

大学微积分:什么函数既是凸函数又是凹函数?

Answer 1

分析，
要加上条件：函数在定义域内连续。
f(x)是凸函数，又是凹函数，证明：f(x)一定是线性函数。
证明：
函数f(x)在定义域内连续，
在定义域内，任意设两点x1,x2，(x1≠x2)
根据凸函数的性质，
f(x1)+f(x2)≧f(x1+x2)/2
再根据凹函数的性质，
f(x1)+f(x2)≦f(x1+x2)/2
因此，f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)/2，
满足这样条件的f(x)一定可以写成，f(x)=ax+b。
故，f(x)是线性函数。

Answer 2

在曲线上任取两点A，B
设其坐标分别为(x1,y1)
,
(x2,
y2
)
,y=f(x)
取AB的中点C(x
,
y),
若：(y1+y2)/2
＜f[(x1+x2)/2]
则称函数为
凸函数
（向上凸）
若：(y1+y2)/2
＞f[(x1+x2)/2]
则称函数为
凹函数
（向下凹
注（x1+x2)/2为C点的
横坐标