Question

高一必修2的一道题

如图,ABCD-A1B1C1D1为长方体,底面是边为2a的正方形,高为2a,M,N分别是CD和AD得中点 求1.判断四边形MNA1C1的形状；
2.求四边形MNA1C1的面积；步骤过程写清谢谢

Answer 1

1、连接AC，易证AC平行于A1C1，又AC平行于MN则A1C1平行于MN，又A1N=√5a=C2M，MN不等于A1C1，则四边形为等边梯形；
2、等腰梯形中，上底为√2a，下底为2√2a，腰为√5a,过上底两顶点作垂线则高可求出√（5-1/2）a=3√2/2a则面积为S=1/2（2√2a+√2a）(3√2/2a)=9a²/2

Answer 2

底面是边为2a的正方形,高为2a，那就是正方体了。
1.四边形MNA1C1的形状：以MN和A1C1为上下边的等腰梯形。
2.对角线AC=A1C1长为2√2a,因为M,N分别是CD和AD得中点，则MN=√2a
过D作DH垂直AC于H，交MN于G，则H为AC中点， △DAC为等腰直角△，G点平分DH,而DH为对角线的1半，所以GH=(√2/2)a.
取上表面中心点I,则I是A1C1中点，IH垂直平面ABCD，所以IH⊥GH,且IH=2a,连接IG,则IG为平面MNA1C1的高=√(GH^2+IH^2)=3√2a/2
故S四边形MNA1C1=(MN+A1C1)*IG=(√2a+2√2a)*(3√2a/2)=9a^2

Answer 3

解1）：由已知得正方形ABCD//正方形A1B1C1，MN,A1C1分别在正方形ABCD和正方形A1B1C1D1上。所以MN//A1C1。又因为M,N分别是CD和AD的中点。所以△AA1N≌△CC1M。所以NA1=MC1。所以四边形MNA1C1为等腰梯形。