Question

设x、y为正实数,且x+y＝4,求根号（x^2+1）+根号（y^2+4）的最小值...

设x、y为正实数,且x+y＝4,求根号（x^2+1）+根号（y^2+4）的最小值. 用勾股定理,初一、二的内容

Answer 1

方法1
∵x+y=4.∴y=4-x.
∴式子z=√(x²+1)+
√(y²+4)可化为：
Z=√[(x-0)
²+(0+1)
²]+√[(x-4)
²+(0-2)
²].（0＜x＜4）
易知,这个式子的几何意义是：
X正半轴上的一个动点P(x,0)到两个定点M(0,-1),N(4,2)距离的和,即
Z=|PM|+|PN|.
由“两点之间,直线段最短”可知,
连接两定点M,N.与x正半轴于点P(4/3,0),此时Z的最小值=|MN|=5.
方法2
作矩形ABCD,使AB＝4、BC＝1,延长CB至E,使BE＝2.
在AB上取一点F,使AF＝x、BF＝y.
由勾股定理,有：
DF＝√（AF²＋AD²）＝√（x²＋1）、EF＝√（BF²＋BE²）＝√（y²＋4）.
显然有：DF＋EF≧DE＝√（CD²＋CE²）＝√（4²＋3²）＝5.
∴√（x²＋1）＋√（y²＋4）的最小值是5.