已知 . （1）求函数 的最大值； （2）设 ， ，且 ，证明： .
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已知 . （1）求函数 的最大值； （2）设 ， ，且 ，证明： . （1）0；（2）证明过程详见解析. 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，同时考查分析问题解决问题的综合解题能力和计算能力.第一问，对 求导，由于 单调递增， 单调递减，判断出函数 的单调性，求出函数的最大值；第二问，根据第一问的结论将定义域分成2部分，当 时，函数 为单调递减，所以 ，所以 一定小于1，当 时，只需证明 即可，构造新函数 ，对 求导，判断 的单调性，求出 的最小值为0，所以 ，所以 ，即 . 试题解析：（Ⅰ） ． 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减． 所以 的最大值为 ． 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时， ， ． 7分 当 时， 等价于设 ． 设 ，则 ． 当 时， ， ，则 ， 从而当 时， ， 在 单调递减． 当 时， ，即 ． 综上，总有 ． 12分
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2019-11-29 广告
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