已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=3,证明a²+b²+c²≥3
已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:a^2+b^2+c^2≥1/3...
已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:a^2+b^2+c^2≥1/3
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因为：(a-b)²≥0
展开得：a²+b²≥2ab
同理：a²+c²≥2ac；b²+c²≥2bc
三式相加得：2(a²+b²+c²)≥2(ab+ac+bc)
则：a²+b²+c²≥ab+ac+bc
a+b+c=1
两边平方得：
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1
a²+b²+c²=1-2ab+2bc+2ac≥ab+ac+bc
3(ab+ac+bc)≥1
ab+ac+bc≥1/3
则：a²+b²+c²≥ab+ac+bc≥1/3
展开得：a²+b²≥2ab
同理：a²+c²≥2ac；b²+c²≥2bc
三式相加得：2(a²+b²+c²)≥2(ab+ac+bc)
则：a²+b²+c²≥ab+ac+bc
a+b+c=1
两边平方得：
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1
a²+b²+c²=1-2ab+2bc+2ac≥ab+ac+bc
3(ab+ac+bc)≥1
ab+ac+bc≥1/3
则：a²+b²+c²≥ab+ac+bc≥1/3
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