Question

设f(x)在闭区间[0,]上连续,且0<m≤f(x)≤m

f(x)在0,1闭区间上连续,且f(0)=f(1)证明至少有一点M属于0,0.5闭区间使得f(M+0.5)=f(M)

Answer 1

考察函数 F(x)=f(x+0.5)-f(x) ,由已知,F(0)=f(0.5)-f(0) ,F(0.5)=f(1)-f(0.5)=f(0)-f(0.5)= -F(0) ,由于 f(x) 在 [0,1] 上连续,因此 F(x) 在 [0,0.5] 上连续 ,所以,由 F(0)*F(1)= -F(0)^2