Question

在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=1，b1=2，bn＞0（n∈N*）...

在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=1，b1=2，bn＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列 （1）求数列{an}、{bn}的通项公式 （2）求（b1-a1）+（b2+a2）+（b3-a3）+…+[bn+（-1）nan]．

Answer 1

解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
∵a1=1，b1=2，bn＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列，
∴2a2=b1+b2，b22=a2•(a3+2)，
∴2（1+d）=2+2q，（2q）2=（1+d）（1+2d+2），
解得d=q=3或-12．
∵bn＞0（n∈N*），∴q＞0
∴d=q=3．
∴an=1+3（n-1）=3n-2，bn=2×3n-1．
（2）Tn=（b1-a1）+（b2+a2）+（b3-a3）+…+[bn+（-1）nan
=（b1+b2+…+bn）-（a1+a2+…+an）+2（a2+a4+…）
=2×(3n-1)3-1-n(3n-2+1)2+2（a2+a4+…）
=3n-1-3n2-n2+2（a2+a4+…）．
当n=2k（k∈N*）时，2（a2+a4+…）=2（a2+a4+…+a2k）=2×k(4+6k-2)2=n2(2+3n)=n+3n22．
∴Tn=3n-1-3n2-n2+n+3n22=3n-1+n．
当n=2k-1（k∈N*）时，2（a2+a4+…）=2（a2+a4+…+a2k-2）
=2×(k-1)(4+3k-5)2=(n+12-1)(3(n+1)2-1)=3n2-2n-14．
∴Tn=3n-1-3n2-n2+3n2-2n-14
=3n-1-3n2+14．
综上可得：当n=2k（k∈N*）时，Tn=3n-1+n．
当n=2k-1（k∈N*）时，Tn=3n-1-3n2+14．