Question

求解概率过程

在抛硬币的试验中,至少抛多少次,才能使正面出现的频率落在(0.4,0.6)区间的概率不小于0.9?

Answer 1

设X=1表示出现正面,X=0表示出现反面，概率均为1/2，
则EX=0.5,DX=0.25
设抛掷n次，则X'=(X1+X2+....Xn)/n表示正面出现的频率，EX'=0.5,DX'=0.25/n
题目要求
P(0.4<X<0.6)=P(-0.1<X'-0.5<0.1)=P(│X'-0.5│<0.1)>0.9
-P(│X'-0.5│<0.1)<-0.9==>1-P(│X'-0.5│<0.1)<1-0.9
==>P(│X'-0.5│>0.1)<0.1
根据切比雪夫不等式，P(│X'-0.5│>0.1)<DX'/0.1^2==>0.25/(n*0.1^2)<0.1
解出：n>0.25/0.1^3=250
故至少抛250次,才能使正面出现的频率落在(0.4,0.6)区间的概率不小于0.9?。
中心极限的解题过程
设X=1表示出现正面,X=0表示出现反面，概率均为1/2，
则EX=0.5,DX=0.25
设抛掷n次，则X'=(X1+X2+....Xn)服从中心极限定律，
即(X'-n*0.5)/n^(1/2)*0.5~N(0,1)
正面出现的频率落在(0.4,0.6)区间:0.4<X'/n<0.6==>-0.1<(X'-n*0.5)/n<0.1==>==>-0.1/0.5<(X'-n*0.5)/n*0.5<0.1/0.5==>
-n^(1/2)/5<(X'-n*0.5)/n^(1/2)*0.5<n^(1/2)/5==>
Ф(n^(1/2)/5)-Ф(-n^(1/2)/5)>0.9==>2Ф(n^(1/2)/5>1.9==>
Ф(n^(1/2)/5)>0.95==>n^(1/2)/5=1.65==>n^(1/2)=5*1.65=8.25
n=8.25^2=68.0625=69
个人认为切比雪夫不等式过于宽泛，结果偏大，而中心极限定律过于理想化，结果就太乐观了，而且用中心极限定律有循环论证之嫌。因为你必须首先回答何种次数才满足中心极限定律。。。。因此反求次数不一定合适。。。如果是实际工作，当采纳第一种结论。