Question

f(x)=x^2-2绝对值X 1，求此函数奇偶性 2， f(x)在(-1，0)单调性

Answer 1

(1)f(x)=x²-2|x|
定义域为R关于原点对称
f(-x)=(-x)²-2|-x|=x²-2|x|=f(x)
所以是偶函数
(2)当x∈(-1，0)时
f(x)=x²-2|x|=x²+2x=(x+1)²-1
抛物线的对称轴是x=-1，且开口向上
由于区间(-1，0)全部在对称轴右侧
故f(x)在(-1，0)是增函数
上面的方法仅是判断
也可用定义法或导数法证明其单调性
定义法
f(x)=x²-2|x|=x²+2x
设x1<x2
且x1、x2∈(-1，0)
f(x1)-f(x2)=x1²-x2²+2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2+2)
因x1>-1,x2>-1所以(x1+x2+2)>0
又因x1<x2
所以(x1-x2)<0
所以f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)
所以f(x)在(-1，0)是增函数
导数法
因f(x)=x²-2|x|=x²+2x
所以f'(x)=2x+2
当x∈(-1，0)时2x>-2,2x+2>0恒成立
即f'(x)>0恒成立
所以f(x)在(-1，0)是增函数