Question

已知函数f（x）对任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0...

已知函数f（x）对任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0， （1）求证：f（x）为减函数； （2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）设在R上任意取两个数m，n且m＞n，则f（m）-f（n）=f（m-n）.
∵m＞n∴m-n＞0,而x＞0时，f（x）＜0,则f（m-n）＜0,即f（m）＜f（n）.∴f（x）为减函数.
（2）由（1）可知f（x）max=f（-3），f（x）min=f（3）．
∵f（x）+f（y）=f（x+y），令x=y=0,∴f（0）=0.
令y=-x得f（x）+f（-x）=f（0）=0,即f（-x）=-f（x）,∴f（x）是奇函数.
而f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-2，则f（-3）=2,
∴f（x）max=f（-3）=2，f（x）min=f（3）=-2．
（1）直接利用函数单调性的定义进行判定，设在R上任意取两个数m，n且m＞n，判定f（m）-f（n）的符号即可得到结论；
（2）先研究函数的奇偶性，然后根据单调性可得函数f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．