两道高中数学题
(1)在平面直角坐标系xOy中,抛物线方程为x^2=2py,若直线x-y-2=0与该抛物线相切,则p=(2)设x,y,a都是实数,且x+y=2a-1,x^2+y^2=a^...
(1)在平面直角坐标系xOy中,抛物线方程为x^2=2py,若直线x-y-2=0与该抛物线相切,则p=(2)设x,y,a都是实数,且x+y=2a-1,x^2+y^2=a^2+2a-3,求乘积xy的取值范围... (1)在平面直角坐标系xOy中,抛物线方程为x^2=2py,若直线x-y-2=0与该抛物线相切,则p= (2)设x,y,a都是实数,且x+y=2a-1,x^2+y^2=a^2+2a-3,求乘积xy的取值范围 展开
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1.y=x-2代入到抛物线中有:x^2=2p(x-2)
x^2-2px+4p=0
相切,则判别式=4p^2-16p=0,4p(p-4)=0
得到p=4
2.
因为(x,y)在直线和圆上,所以应满足
x+y=2a-1--(1)
x^2+y^2=a^2+2a-3--(2)
(1)平方后减去(2)得
2xy=(2a-1)²-(a²+2a-3)=(4a²-4a+1)-(a²+2a-3)=3a²-6a+4
xy=(3/2)a²-3a+2
配方后得
xy=(3/2)(a-1)²+1/2
因为圆的半径不能小于0
所以有a²+2a-3>0
解得a<-3或a>1
因为直线与圆有交点,所以圆心(0,0)到直线的距离小于或等于半径,于是有不等式
(2a-1)²/(1+1)<=a²+2a-3
4a²-4a+1<=2a²+4a-6
2a²-8a+7<=0
解得2-(根号2/2)=<a<=2+(根号2)/2
综合得a的取值范围是[2-(根号2/2),2+(根号2)/2]
所以当a=2-(根号2)/2时,xy有最小值3/2(1-根号2/2)^2+1/2
x^2-2px+4p=0
相切,则判别式=4p^2-16p=0,4p(p-4)=0
得到p=4
2.
因为(x,y)在直线和圆上,所以应满足
x+y=2a-1--(1)
x^2+y^2=a^2+2a-3--(2)
(1)平方后减去(2)得
2xy=(2a-1)²-(a²+2a-3)=(4a²-4a+1)-(a²+2a-3)=3a²-6a+4
xy=(3/2)a²-3a+2
配方后得
xy=(3/2)(a-1)²+1/2
因为圆的半径不能小于0
所以有a²+2a-3>0
解得a<-3或a>1
因为直线与圆有交点,所以圆心(0,0)到直线的距离小于或等于半径,于是有不等式
(2a-1)²/(1+1)<=a²+2a-3
4a²-4a+1<=2a²+4a-6
2a²-8a+7<=0
解得2-(根号2/2)=<a<=2+(根号2)/2
综合得a的取值范围是[2-(根号2/2),2+(根号2)/2]
所以当a=2-(根号2)/2时,xy有最小值3/2(1-根号2/2)^2+1/2
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