在抛物线y^2=2px上求一点,使该点与点M（p,p）的距离最小. 我求出来时（0,0）点,对么
2个回答
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答：
点P（p,p）,x=p时：
y^2=2px=2p^2>p^2
所以：点P在抛物线内部
设抛物线上点Q为（x,y）
PQ^2=(x-p)^2+(y-p)^2
=x^2-2px+p^2+y^2-2py+p^2
=(y^2/2p)^2-y^2+y^2-2py+2p^2
=(y^4)/(4p^2)-2py+2p^2
=f(y)
对y求导：f'(y)=(y^3)/(p^2)-2p
令f'(y)=0解得：y=(³√2)p
y^2=(³√4)p^2=2px,x=(1/³√2)p
所以：距离最近点为（(1/³√2)p,(³√2)p)
点P（p,p）,x=p时：
y^2=2px=2p^2>p^2
所以：点P在抛物线内部
设抛物线上点Q为（x,y）
PQ^2=(x-p)^2+(y-p)^2
=x^2-2px+p^2+y^2-2py+p^2
=(y^2/2p)^2-y^2+y^2-2py+2p^2
=(y^4)/(4p^2)-2py+2p^2
=f(y)
对y求导：f'(y)=(y^3)/(p^2)-2p
令f'(y)=0解得：y=(³√2)p
y^2=(³√4)p^2=2px,x=(1/³√2)p
所以：距离最近点为（(1/³√2)p,(³√2)p)
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