Question

数学证明题，求详细过程

一个三角形在一个坐标系内，这个三角形的顶点的坐标都是有理数。它的边可能是2：3：4吗？ （这道题提示说用海伦公式）
请证明！

Answer 1

反证法，假设原命题正确
首先，设三角形三边长分别为2k，3k，4k，由海伦公式S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] p=(a+b+c)/2
可知S=√[9/2k（9/2k-2k)（9/2k-3k）（9/2k-4k)]=(3k²√15 )/4=[(2k)²3√15] /16
因为三角形的顶点的坐标都是有理数，所以三角形一边长2k=√（x1-x2)²+(y1-y2)²
所以（2k）²是有理数，所以上式中S为无理数
然而，用割补法，将三角形补成一个矩形，矩形面积是有理数，再减去多余的三角形，（三角形面积也是有理数），得S是有理数
矛盾，所以假设错误，原命题错误

Answer 2

不可能。