Question

高数 级数问题

设U(n) 不等于 0 (n=1,2,3, ,,,) 且 (n→无穷)lim n/U(n) =1, 则级数（n=1)∑[(-1)^(n+1)] (1/U(n) + 1/U(n+1) ） 为什么是条件收敛的？

Answer 1

收敛是因为
Sn = 1/U(1) + 1/U(2) - 1/U(2) -1/U(3) ....+ (-1)^(n+1)/U(n) + (-1)^(n+1)/U(n+1)
注意抵消规律有
Sn=1/U(1) + (-1)^(n+1)/U(n+1)
由lim n/U(n) =1有，Un→+∞，所以Sn→1/U(1)

不绝对收剑是因为
级数一般项取了绝对值= 1/U(n) + 1/U(n+1)
而lim (1/U(n) + 1/U(n+1))/(1/n) = lim n/U(n) + lim n/U(n+1) = 1+ lim n/(n+1) * (n+1)/U(n+1)=1+1=2
所以级数和1/n有相同的敛散性。
而1/n发散，所以发散。

从面条件收敛

Answer 2

你将后面的级数通项取绝对值,然后与N分之1相比求当N趋向无穷的极限,答案是2,那么该级数非绝对收敛.
然后你再看看是不是条件收敛,这个你可以用莱布尼茨法则进行判断.
就是看后面的级数是否满足它的两个条件,一个是单调性,这个由于极限(n→无穷)lim n/U(n) =1,所以当N足够大时候,由于分子是一直单调增加的,那么分母也一定要一直增加(只要N充分大),所以是靠近无穷时是单调增加的.二是无穷时通项是否趋向0,这个由那个极限是很容易得出来的.
所以级数是条件收敛的.
其实因为且 (n→无穷)lim n/U(n) =1所以级数（n=1)∑[(-1)^(n+1)] (1/U(n) + 1/U(n+1) ）可以等价于（n=1)∑[(-1)^(n+1)] (1/n+ 1/(n+1) ）这个是很容易做的.