Question

复合函数是什么

Answer 1

• 要理解复合函数，先要知道基本初等函数的概念：

  一般来讲，基本初等函数归为以下五类：

1. 幂函数：f(x)=xᵃ(a为有理数);

2. 指数函数：f(x)=aˣ(a>0且a≠1);

3. 对数函数：f(x)=logₐ(x)(a>0且a≠1);

4. 三角函数：f(x)=sin(x)、f(x)=cos(x)...

5. 反三角函数：f(x)=arcsin(x)、f(x)=arccos(x)...

• 复合函数通俗地说就是函数套函数，是把上述几种基本初等函数的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中含有两个及以上的函数，如y=sin(u)，u=2ᵛ，v=x²，则函数y=sin[2^(x²)]就是y关于x的复合函数，其中x是自变量，u、v都是中间变量，y是应变量。

• 不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数，复合的过程中要掌握一个原则：内层函数的值域要在其外层函数的定义域内，由内到外，逐层满足，如y=log₂[1-cos(x)]没问题，但y=log₂[cos(x)-2]就不行，显然没有任何x能使y有意义，故求复合函数的定义域时，要综合考虑各部分的x的取值范围，最后取他们的交集，还是以y=log₂[1-cos(x)]为例：内层cos(x)：定义域x∈R；外层log₂[u]:u>0→1-cos(x)>0→函数的定义域x≠2kπ。

• 复合函数的性质：

1. 周期性：复合函数的最小正周期为内外层函数最小正周期的最小公倍数，如tan[sin(x)]的最小正周期为2π

   

2. 单调（增减）性

   依内外层的单调性来决定：即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为口诀“同增异减”。如y=ln(x²):

   外层为增函数，内层x<0时为减函数，x>0时为增函数，故复合后：

   x<0时，内外层增减性相异→复合后为减函数；

   x>0时，内外层增减性相同→复合后为增函数；