Question

关于函数f（x）=x*sin1/x，x不等于0；0，x=0. 为什么x=0是f（x）的极值点？

Answer 1

极值点，不一定是一阶导等于零的点，一阶导不存在的点也可能是极值点。

一个点是不是极值点，主要是看在这个点的两侧一阶导是否异号，而一阶导等于0，或一阶导不存在的点都有可能两侧异号，这题就是一阶导不存在而两侧异号的情况。

因此，以后在找极值点的时候，除了要看一阶导等于0的点，也要注意无定义、一阶导不存在的点。

追问

后面两个极限怎么求的？

追答

x趋于0时，sin(1/x)、cos(1/x)都是有界量，而1/x是无穷大量，因此极限一定是无穷大
当x趋于0+时,1/x趋于正无穷，-1/x就趋于负无穷，极限为负无穷，x趋于0-时同理

追问

理解了，谢谢！

追答

昨天脑子不太清醒，回答的不对，补充一下。

cos(1/x)和sin(1/x)在x→0时都是震荡不存在的，乘以无穷大量其实正负是不确定的，单个的极限无法确定正负。

但是可以通过相乘得到左右极限异号的结论，如下图所示

Answer 2

极值点，不一定是一阶导等于零的点，一阶导不存在的点也可能是极值点。

一个点是不是极值点，主要是看在这个点的两侧一阶导是否异号，而一阶导等于0，或一阶导不存在的点都有可能两侧异号，这题就是一阶导不存在而两侧异号的情况。

因此，以后在找极值点的时候，除了要看一阶导等于0的点，也要注意无定义、一阶导不存在的点