Question

1/(sinx+cosx)^2的不定积分是？

1/(sinx+cosx)^2的不定积分是？我怎么求出来和答案不一样，但是求导验证两个都对，我就是求不出sinx/（sinx+cosx），请高手解答！！我求出来的是
1/2( (sinx-cosx) / (sinx+cosx) ).

Answer 1

你的思路并没有错,实际上你应该注意到我们求出的不定积分是一个积分簇,如果我来解的话,我得到的结果是这样的:Integrate[1/(sinx+cosx)^2,x]=Integrate[1/(tanx+1)^2,tanx]=-1/(1+tanx)+C=-cosx/(sinx+cosx)+C=sinx/(sinx+cosx)+C-1=1/2*(sinx-cosx)/(sinx+cosx)+C-1/2,他们的结果只是相差一个常数,所以求不定积分时要带上常数,现在清楚了吧?

Answer 2

其实sinx/(sinx+cosx)和-cosx/(sinx+cosx)的导数是一样的，都是1/(sinx+cosx)^2
所以这道题的答案有很多，即λsinx/(sinx+cosx)-(1-λ)cosx/(sinx+cosx)都可以(λ可以随意取)

Answer 3

∫1/(sinx+cosx)^2dx
=∫(sin^2x+cos^2x)/(sinx+cosx)^2dx
=∫(tan^2x+1)/(tanx+1)^2dx
(设tanx=t,dx=dt/(1+t^2))
=∫(t^2+1)/(t+1)^2dt/(1+t^2)
=∫1/(t+1)^2dt
=-1/(1+t)
=-1/(1+tanx)