希尔伯特空间中的1矢量最有意义的是什么？
希尔伯特空间的数学概念以大卫希尔伯特的名字命名，概括了欧几里得空间的概念。它将向量代数和微积分的方法从二维欧几里得平面和三维空间扩展到具有任意有限或无限维数的空间。希尔伯特空间是一个带有内积的向量空间，这是一种允许定义长度和角度的操作。此外，希尔伯特空间是完备的，这意味着空间中有足够的限制以允许使用微积分技术。
希尔伯特空间在数学和物理学中自然而频繁地出现，通常作为无限维函数空间。最早的希尔伯特空间是在 20 世纪头十年由大卫希尔伯特、艾哈德施密特和弗里吉斯瑞兹从这个角度研究的。它们是偏微分方程、量子力学、傅立叶分析（包括信号处理和热传递的应用）和遍历理论（构成热力学的数学基础）理论中不可或缺的工具。约翰·冯·诺依曼 (John von Neumann) 创造了术语希尔伯特空间 (Hilbert space) 来表示许多这些不同应用背后的抽象概念。希尔伯特空间方法的成功为泛函分析开创了一个硕果累累的时代。除了经典的欧几里得空间，希尔伯特空间的例子还包括平方可积函数空间、序列空间、由广义函数组成的索博列夫空间和全纯函数的哈代空间。
几何直觉在希尔伯特空间理论的许多方面都起着重要作用。勾股定理和平行四边形定律的精确类似物在希尔伯特空间中成立。在更深层次上，垂直投影到子空间（类似于“降低三角形的高度”）在优化问题和理论的其他方面起着重要作用。
希尔伯特空间的元素可以由其相对于一组坐标轴（正交基）的坐标唯一指定，类似于平面中的笛卡尔坐标。当这组轴是可数无穷大时，希尔伯特空间也可以有效地被认为是可平方和的无穷序列空间。后者空间通常在较早的文献中称为希尔伯特空间。希尔伯特空间上的线性算子同样是相当具体的对象：在良好的情况下，它们只是在相互垂直的方向上通过不同因子拉伸空间的变换，在某种意义上通过研究它们的频谱变得精确。
