Question

设函数f(x)是实数R上的增函数,令F(x)=f(x)-f(2-x)

设函数f(x)是实数R上的增函数,令F(x)=f(x)-f(2-x) （1）求证：F(x)在R上是增函数 （2）若F(x1)+F(x2)＞0，求证：x1+x2＞2

Answer 1

(1)证明：
任取x1>x2，则
F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(2-x1)-f(x2)+f(2-x2)=[f(x1)-f(x2)]+[f(2-x2)-f(2-x1)]
∵x1>x2
∴2-x2>2-x1
又f(x)是实数R上的增函数
∴f(x1)>f(x2), f(x1)-f(x2)>0
f(2-x2)>f(2-x1),f(2-x2)-f(2-x1)>0
∴F(x1)-F(x2)>0
即F(x1)>F(x2)
∴F(x)在R上是增函数

(2)证明：
∵F(x)=f(x)-f(2-x)
∴F(1)=f(1)-f(1)=0
∵F(x)在R上是增函数
F(x1)+F(x2)＞0=F(1)
∴x1,x2中至少有一个大于1，不妨设x1>1（否则F(x1)+F(x2)<F(1)+F(1)=0）
∴F(x1)+F(x2)＞F(1)+F(x2)>0
即F(x2)>0=F(1)
∴x2>1
∴x1+x2>2

Answer 2

(1)证明
因为：f(x)是增函数
所以:f(-x)是减函数
故:f(2-x)也是减函数
那么:-f(2-x)为增函数
则:F(x)是增函数

Answer 3

第一问我会：f(x)为增函数，2-x为减函数，所以f(2-x)为减函数，所以为-f(2-x)增函数，所以，F（x）为增函数
就是同增异减！