Question

分块矩阵怎么求逆?

Answer 1

一般的分块矩阵的逆没有公式

对特殊的分块矩阵有:

diag(A1,A2,...,Ak)^-1 = diag(A1^-1,A2^-1,...,Ak^-1).

斜对角形式的分块矩阵如:

0 A

B 0

的逆 =

0 B^-1

A^-1 0

可推广.

A B

0 D

的逆 =

A^-1 -A^-1BD^-1

0 D^-1

A 0

C D

的逆 =

A^-1 0

D^-1CA^-1 D^-1

性质：

1、同结构的分块上（下）三角形矩阵的和（差）、积（若乘法运算能进行）仍是同结构的分块矩阵。

2、数乘分块上（下）三角形矩阵也是分块上（下）三角形矩阵。

3、 分块上（下）三角形矩阵可逆的充分必要条件是的主对角线子块都可逆；若可逆，则的逆阵也是分块上（下）三角形矩阵。

4、 分块上（下）三角形矩阵对应的行列式。

计算规则：

逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C，假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。

矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I