Question

不定积分，为什么这一步变成这样？

2π∫(-1，1)(1-x)√1-x²dx
=2π∫(-1，1)√1-x²dx

Answer 1

奇函数积分，积分区间关于原点对称，结果为0

Answer 2

解如下图所示

Answer 3

主要考查定积分在对称区间，奇函数和偶函数的值。

Answer 4

2π∫<-1, 1>(1-x)√(1-x²)dx = 2π∫<-1, 1>√(1-x²)dx
是用了对称区间积分的奇偶性
∫<-1, 1>(1-x)√(1-x²)dx = ∫<-1, 1>√(1-x²)dx - ∫<-1, 1>x√(1-x²)dx
= ∫<-1, 1>√(1-x²)dx - 0
= ∫<-1, 1>√(1-x²)dx = π/2 (利用定积分几何意义）

Answer 5

这里使用了不定积分的公式。
即当被积函数为奇函数，且积分区间关于原点对称时，则定积分的结果为0.