Question

高中定积分微积分计算？

如图，想知道为什么我求后面这个式子结果不对。。。。。我看解析知道这是个半圆，但是用微积分定理计算结果与图形所得结果不对啊。。。。

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Answer 1

f(x) = sinx
f(-x) =-f(x)
f(x) 是奇函数
可推导出 ∫(-2->2) sinx dx =0
g(x) =√(4-x^2)
g(-x) =g(x)
g(x) 是偶函数
可推导出 ∫(-2->2) √(4-x^2) dx =2∫(0->2) √(4-x^2) dx
∫(-2->2) [ sinx +√(4-x^2) ] dx
把定积分分开
=∫(-2->2) sinx dx +∫(-2->2) √(4-x^2) dx
根据上面结果
=0+2∫(0->2) √(4-x^2) dx
令 x= 2sinu
dx=2cosu du
x=0, u=0
x=2, u=π/2
=8∫(0->π/2) (cosu)^2 du
利用 2(cosu)^2 = 1+cos2u
=4∫(0->π/2) (1+cos2u) du
=4[u+(1/2)sin2u]|(0->π/2)
带入积分上下限
=2π
得出结果
∫(-2->2) [ sinx +√(4-x^2) ] dx=2π