Question

自然常数e，到底怎么来的？

Answer 1

欧拉公式被称为真正的宇宙第一公式，

欧拉公式的推导，是将 三角函数 与 复指数函数 巧妙地关联了起来。其中， e  为自然常数， i  为虚数， x 则是以弧度为单位的参数（变量）。

自然常数e 是一个奇妙的数字，它是一个数学中的 无理常数 ，约等于2.718281828459。

我们是否想过，为啥一个无理数却被人们称之为“ 自然常数 ”？

要了解e 的由来，一个最直观的方法是引入一个经济学名称“ 复利 (Compound Interest)”。

复利率法 ，是一种计算利息的方法。只要计算利息的周期越密，财富增长越快，而随着年期越长，复利效应亦会越为明显。

在引入“ 复利模型 ”之前，先试着看看更基本的 “指数增长模型”。

假设你有1元钱存在银行里，此时发生了严重的通货膨胀，银行的利率飙到了100%（夸张一下，为了方便计算）。如果银行一年付一次利息，自然在一年后你可以拿到1元的本金（蓝色圆）和1元的利息（绿色圆），总共两元的余额。现在银行的年利率不变，每半年就付一次利息。那么到第六个月的时候，你就能够提前从银行拿到0.5元的利息了。机智的你会马上把这0.5元的利息再次存入银行，这0.5元的利息也将在下一结算周期产生利息(红色圆)，专业术语叫“ 复利 ”，那么年底的存款余额将等于2.25元。我们可以换个角度这样看：即，每个结算（增长）周期为半年，每半年的利率是50%（或者说100%/2），一年结算两次利息，且第一次结算完后，立马将利息存入。此时我们的计算公式和结果如下：

年利率不变每四个月就付一次利息！而机智的你依然一拿到利息就立马存入，与半年结算一次利息类似：即，每个结算周期为四个月，每四个月的利率是33.33%（或者说100%/3），一年结算三次利息，且前两次结算完后，都立马将所有利息存入。

最后，发现年利率虽然没有变，但随着每年利息交付次数的增加，年底从银行拿到的钱居然也在增加。

那么是不是会一直增大到无穷大呢？

现在假设，银行在保证年利率为100%的前提下连续不断地付给存款人利息，存款人天天呆在银行不走，拿到利息就往银行里存。这样，所得利息即所谓“连续复利”。

于是我们进行一系列的迭代运算，我们将看到以下结果：

 假设本金为1块钱的前提下，只要在年利率保持100%不变的情况下，不断地提高利息的结算次数，余额就将会逼近e =2.718281845…

于是得出了高等数学微积分里计算e 的一个重要极限了：

说明了，就算银行的年利率是100%，再怎么求银行给你“复利”，年底也不可能得到超过本金e 倍的余额。

在自然界中，大多数事物都处在一种无意识的连续增长的状态中，对于一种连续增长的事物，如果它的单位时间的增长率为100%，那么经过一单位时间后，它将变成原来的e倍。