Question

严格对角优势矩阵可逆

Answer 1

习题： 证明严格对角优势矩阵可逆。

对角优势: 若矩阵 满足

即对角元绝对值大于该行其他所有元素绝对值之和。且至少有一个 使得上面的不等号严格成立此时我们乘矩阵 具有 对角优势 。

严格对角优势： 若所有 都使得上面的不等号严格成立，我们就说矩阵 具有 严格对角优势 。

下证明严格对角优势矩阵可逆：

使用反证法，假设 不可逆，则有

那么 有非零解，设为

且令

根据假设，有 ]

从而

而根据 为严格对角优势矩阵

此时发现 式和 式矛盾。因此 可逆。