Question

已知A(0,1),B(1,-2),C(2,5),则三角形ABC边AC上的高是多少？

Answer 1

首先，可以通过计算向量AB和向量AC，来求出向量AB和向量AC的点积和模长。具体地，向量AB的坐标为(1-0, -2-1) = (1, -3)，向量AC的坐标为(2-0, 5-1) = (2, 4)。

向量AB和向量AC的点积为(1, -3)·(2, 4) = 1×2 + (-3)×4 = -10。

向量AC的模长为|AC| = √(2² + 4²) = √20。

根据高的定义，三角形ABC边AC上的高等于向量AB和向量AC的点积除以向量AC的模长，即：

h = |AB·AC| / |AC| = |-10| / √20 = 5 / √5 = √5

因此，三角形ABC边AC上的高的长度为√5。

Answer 2

直线AC的一般式方程是：
2X－Y＋1＝0
B（1，－2）到AC的距离为：
丨2×1－（－2）＋1丨／√（2＾2＋1＾2）＝5／√5＝√5
答：AC上的高为√5。

Answer 3

设|AD|=m，|BD|=n，则：

m²+n²=|AB|²=10。

（m+|AC|）²+n²=|BC|²，（m+2√5）²+n²=（5√2）²，m²+4√5m+20+n²=50，m²+4√5m+n²=30。

解方程组：4√5m=30-10=20，m=√5。

n²=10-m²=10-（√5）²=10-5=5，n=√5。

即AC上的高为：BD=n=√5。