Question

绝对值不等式的解法有哪些？

Answer 1

一、 绝对值定义法

对于一些简单的，一侧为常数的含不等式绝对值，直接用绝对值定义即可， 

1、如|x| < a在数轴上表示出来。利用数轴可将解集表示为−a< x < a

2、|x| ≥ a同理可在数轴上表示出来，因此可得到解集为x≥ a或x≤ a

3、|ax +b| ≥ c型，利用绝对值性质化为不等式组−c ≤ ax + b ≤ c，再解不等式组。

二、平方法

对于不等式两边都是绝对值时，可将不等式两边同时平方。

解不等式 |x+ 3| > |x− 1|将等式两边同时平方为(x + 3)2 > (x − 1)2得到x2 + 6x + 9 > x2 − 2x + 1之后解不等式即可，解得x > −1

三、零点分段法

对于不等式中含有有两个及以上绝对值，且含有常数项时，一般使用零点分段法。例 解不等式|x + 1| + |x − 3| > 5

在数轴上可以看出，数轴可以分成x < −1,−1 ≤ x < 3, x ≥ 3三个区间，由此进行分类讨论。

当x < −1时，因为x + 1 < 0, x − 3 < 0所以不等式化为 −x− 1 −x + 3 > 5解得x < −322．当−1 ≤x < 3时， 因为x + 1 > 0,x− 3 < 0所以不等式化为x + 1 − x + 3 > 5无解。

当 x ≥ 3时 因为x + 1 > 0 ,x − 3 > 0所以不等式化为x + 1 + x− 3 > 5解得x >72综上所述，不等式的解为x < −32或x >72。

扩展资料

1、实数的绝对值的概念

(1)|a|的几何意义

|a|表示数轴上实数a对应的点与原点之间的距离.

(2)两个重要性质

①(ⅰ)|ab|=|a||b|

②|a|<|b|⇔a2<b2

(3)|x-a|的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离,或数轴上表示x-a的点到原点的距离.

(4)|x+a|的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数-a对应的点之间的距离,或数轴上表示x+a的点到原点的距离。

2、绝对值不等式定理

(1)定理：对任意实数a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.

(2)定理的另一种形式：对任意实数a和b,有|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时,等号成立.

绝对值不等式定理的完整形式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

其中,(1)|a+b|=|a|-|b|成立的条件是ab≤0,且|a|≥|b|;

(2)|a+b|=|a|+|b|成立的条件是ab≥0;

(3)|a-b|=|a|-|b|成立的条件是ab≥0,且|a|≥|b|;

(4)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab≤0.