Question

【高等数学】无穷级数篇

Answer 1

由幂级数的和函数的求解可知，一个幂级数可以在其收敛区间内表示成一个函数（和函数），在这里我把该过程理解为：多个幂函数的和可以看作一个非幂函数。

  这里我们讨论的函数的幂级数展开是与此相反的问题：如何把一个函数表示成幂级数的形式，也就是一个函数如何能在某个区间内表示成多个幂函数的和。

即以上式子的形式，那么就称函数f(x)再点 处的幂级数展开式，其中D为幂级数的收敛域。

在本小节中，我们需要弄清楚两个问题：�什么样的函数能够展开成幂级数？�幂级数展开式的系数如何确定？

（1）什么样的函数能够展开成幂级数？

如果函数f(x)在点 的某领域内任意阶导数存在，则其能被泰勒公式展开。

如果函数f(x)在点 的某领域内满足充分必要条件：拉格朗日余项满足：

（2）幂级数展开式的系数如何确定？

由泰勒公式中自变量范围的延伸可以得到幂级数的系数 为：

我们需要注意的是：如果函数能够展开为幂级数，则其展开式必为图中的形式，且是唯一的。

我的理解是，由于它是根据泰勒公式延伸得来，因此把它叫做泰勒级数也十分准确。个人认为泰勒公式和泰勒级数有两点区别：�泰勒公式是有限项的和，泰勒级数是无限项的和�泰勒级数因为是无限项，因此省去了余项的部分。

在题目当中，我们更常见的是麦克劳林级数，即当 =0时，这种泰勒级数的特殊情况也叫做麦克莱林级数。

知道了级数的来历，我们也要掌握解题的方法：这里我们介绍两种类型的题目的解题方法。

1、对于常用函数的麦克劳林级数的求法：（直接展开法）

下面是总结归纳常见函数的麦克劳林公式，同学们可以收藏起来下次直接使用哟~

2、利用幂级数的性质和已知函数的级数，求未知函数的级数：（间接展开法）