Question

微分方程y''-2y'+y=0的通解为： （用一下思路解：令y'=p y''=p*(dp/dy)）

Answer 1

😳问题 : 求微分方程 y''-2y'+y=0 的通解为

👉微分方程

1. 微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。
   

2. 微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
   

3. 数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。
   

👉微分方程的例子

1. 『例子一』  dy/dx =x
   

2. 『例子二』  y''+3y'+2y=0
   

3. 『例子三』  y'''= x
   

👉回答

• 微分方程 
  

y''-2y'+y=0

• 这是2阶的齐次微分方程 

• 辅助公式

r^2-2r +1 =0

(r-1)^2=0

r=1

y= (Ax+B).e^x

• 得出结果
  

微分方程 y''-2y'+y=0 的通解为 y= (Ax+B).e^x

😄: 微分方程 y''-2y'+y=0 的通解为 y= (Ax+B).e^x

Answer 2

令 y'=p 则 y''=p(dp/dy),
微分方程变为 p(dp/dy)-2p+y=0,
即为 dp/dy=2-y/p 是齐次方程.
再令 p=zy,齐次方程变为 z+ydz/dy=2-1/z,
化为 ydz/dy=-(z-1)^2/z,
即 zdz/(z-1)^2=-dy/y 为分离变量型微分方程.
可化为 [1/(z-1)+1/(z-1)^2]dz=-dy/y
ln(z-1)-1/(z-1)=-lny+lnC1
(z-1)/e^[1/(z-1)]=C!/y,
p-y=C1e^[y/(p-y)]
成为 p 的隐函数,不便解出 p.
此思路不可取.