Question

一道高中数学函数导数题21高悬赏 急用在线等

Answer 1

(1)f(x)=e^(1-x)·(-a+cosx)
f'(x)=-e^(1-x)·(-a+cosx)-e^(1-x)·sinx
=-e^(1-x)·(-a+cosx+sinx)
=-e^(1-x)·[-a+√2sin(x+π/4)]
f(x)存在单调递减区间 区间内f'(x)<0
∵-e^(1-x)<0
∴-a+√2sin(x+π/4)>0
a<√2sin(x+π/4)
∴a∈(-√2,+∞)
(2)a=0 f(x)=e^(1-x)·cosx
令g(x)=f(-1-x)+2f'(x)·cos(x+1)
=e^(2+x)·cos(x+1)-2e^(1-x)·(cosx+sinx)cos(x+1)
=cos(x+1)·[e^(2+x)-2e^(1-x)·(cosx+sinx)]
令h(x)=e^(2+x)-2e^(1-x)·(cosx+sinx)
h'(x)=e^(2+x)+2e^(1-x)·(cosx+sinx)-2e^(1-x)(-sinx+cosx)
=e^(2+x)+4e^(1-x)sinx
h''(x)=e^(2+x)+4e^(1-x)(cosx-sinx)
∵1/2<√2/2 ∴cosx-sinx>0
∴x∈[-1,1/2] h''(x)>0 h'(x)单调递增
h'(-1)<0 h'(-π/6)>0
∴根据连续函数零点定理，h(x)在给定区间有且只有一个驻点。驻点x₀∈(-1,-π/6)
驻点处：e^(2+x₀)=-4e^(1-x₀)sinx₀
可以根据导数值正负的变化，判断区间内驻点为极小值点
极小值=-4e^(1-x₀)sinx₀-2e^(1-x₀)·(cosx₀+sinx₀)
=-e^(1-x₀)(2cosx₀+6sinx₀)
=-2√10e^(1-x₀)[sin(x₀+φ)] φ=arctan(1/3)<π/6
∴sin(x₀+φ)<0→极小值>0
∴h(x)≥极小值>0
∵x∈[-1,1/2] x+1∈[0,3/2] 3/2<π/2
∴cos(x+1)>0
∴f(-1-x)+2f'(x)·cos(x+1)=h(x)·cos(x+1)>0 恒成立。

Answer 2

高中都没上过的我，怎么会解呢，去下载个软件有专门解题的

Answer 3

求导喽

追答

然后分类讨论

Answer 4

这么多年都忘光了