Question

f(x+a)泰勒公式

Answer 1

泰勒公式是将任意函数分解为以下这种简单形式的一种方法

为什么可以这么做？主要是由导数的几何意义而来。

众所周知，导数的物理意义是『变化率』。
譬如二维曲线的一阶导数表征斜率，斜率即 y 随 x 变化的变化率；
譬如二维曲线的二阶导数表征曲度，曲度即一阶导 y' 随 x 变化的变化率；
由此递推，高阶导数永远表征的是其次一阶导数随 x 的变化率，表征在函数图像上就呈现为函数该某点周围曲线形状的变化趋势。越高阶的导数，表征的就是该点处越精细的变化趋势。

我们可以这么思考，设需要分解的原函数为 f(x) ，泰勒分解后的泰勒级数为g(x)
当f(x) 与 g(x) 在某点处的各阶导数都相同时，那么f(x) 与 g(x) 在该点周围的图像也就完全一致，如果这种相同能够保持到无穷阶导数，那么这个『周围』的相似范围也就扩大到无穷大，即f(x)与g(x)在数轴上所有位置都变为相同，即f(x) = g(x)。
所以泰勒公式的关键，也就是f(x) 与 g(x) 在某点处各阶导数值的对应相等。即：

由
故
一般我们将 x=0 代入，就可以求得对应函数的泰勒级数常数项的值了。
总体而言，泰勒公式就是利用各阶导数的近似，来获得整体函数的近似。在数学计算上，就表现为通过计算f(x)的各阶导数，从而获得对应项泰勒常数的过程。