求不定积分∫x/(4+x²)^3/2 dx的结果？
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原式=∫x·[(4+x²)^(-3/2)]dx
=(1/2)∫[(4+x²)^(-3/2)]d(4+x²)
=-(4+x²)^(-1/2)+C
=[-1/√(4+x²)]+C
=(1/2)∫[(4+x²)^(-3/2)]d(4+x²)
=-(4+x²)^(-1/2)+C
=[-1/√(4+x²)]+C
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为了更容易理解，设 u = 4+x²。那么，du = 2xdx。则 xdx = du/2
那么，原积分就可以变换为：
=∫du/2 * u^(-3/2)
=1/2 * ∫u^(-3/2) * du
=1/2 * 1/(-3/2 +1) * u^(-3/2 +1) + C
=1/2 * (-2) * u^(-1/2) + C
=-1/√u + C
再把 u = 4+x² 代回去，得到：
=-1/√(4+x²) + C
那么，原积分就可以变换为：
=∫du/2 * u^(-3/2)
=1/2 * ∫u^(-3/2) * du
=1/2 * 1/(-3/2 +1) * u^(-3/2 +1) + C
=1/2 * (-2) * u^(-1/2) + C
=-1/√u + C
再把 u = 4+x² 代回去，得到：
=-1/√(4+x²) + C
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