数的整除概念
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整除的定义
整除：若整数“a” 除以大于0的整数“b”,商为整数,且余数为零.我们就说a能被b整除（或说b能整除a）,记作b|a,读作“b整除a”或“a能被b整除”．它与除尽既有区别又有联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时,我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是,整除只有当被除数、除数以及商都是整数,而余数是零．除尽并不局限于整数范围内,被除数、除数以及商可以是整数,也可以是有限小数,只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况．
注：a or b作除数的其一为0则不叫整除
整除的一些性质为：
（1）如果a与b都能被c整除,那么a+b与a-b也能被c整除．
（2）如果a能被b整除,c是任意整数,那么积ac也能被b整除．
（3）如果a同时被b与c整除,并且b与c互质,那么a一定能被积bc整除．反过来也成立．
有关整除的一些概念：
整除有下列基本性质：
①若a｜b,a｜c,则a｜b±c.
②若a｜b,则对任意c,a｜bc.
③对任意a,±1｜a,±a｜a.
④若a｜b,b｜a,则｜a｜＝｜b｜.
对任意整数a,b,b＞0,存在唯一的整数q,r,使a＝bq＋r,其中0≤r＜b,这个事实称为带余除法定理,是整除理论的基础.
若c｜a,c｜b,则称c是a,b的公因数.若d是a,b的公因数,且d可被a,b的任意公因数整除则称d是a,b的最大公因数.当d≥0时,d是a,b公因数中最大者.若a,b的最大公因数等于1,则称a,b互素.累次利用带余除法可以求出a,b的最大公因数,这种方法常称为辗转相除法.又称欧几里得算法.
[编辑本段]整除的规律
整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除.
整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除.
整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除,那么这个数就能被3整除.
整除规则第四条（4）：最后两位能被4整除的数,这个数就能被4整除.
整除规则第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除.
整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除,那么这个数就能被6整除.
整除规则第七条（7）：把个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除.
整除规则第八条（8）：最后三位能被8整除的数,这个数就能被8整除.
整除规则第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除,那么这个数就能被9整除.
整除规则第十条（10）：若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除
整除规则第十一条（11）：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理!过程唯一不同的是：倍数不是2而是1!
整除规则第十二条（12）：若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除.
整除规则第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除.如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.
整除规则第十四条（14）：a 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除.如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.b 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除.
整除规则第十五条（15)：a 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除.如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.b 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除.
整除规则第十六条（16）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除,则这个数能被23整除
整除规则第十七条（17）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除,则这个数能被29整除
整除规则第十八条（18）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除,则这个数能被73整除
整除规则第十九条（19）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除,则这个数能被137整除
整除规律举例
整除规则第七条（7）：把个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除.
例：①147,截去个位数字后为14,用14-7*2=0,0是7的倍数,所以147也是7的倍数.
②2198,截去个位数字后为219,用219-8*2=203；继续下去,截去个位数字后为20,用20-3*2=14,14是7的倍数,所以2198也是7的倍数.
设p=a1+a2*10+a3*10^2+...+a(n-1)*10^(n-1)+an*10^n
q=a2+a3*10+...+a(n-1)*10^(n-2)+an*10^(n-1)-2a1
2p+q=21(a2+a3*10+...+an*10^(n-1))
又因为21=7*3,所以若p是7的倍数,那么可以得到q是7的倍数
整除：若整数“a” 除以大于0的整数“b”,商为整数,且余数为零.我们就说a能被b整除（或说b能整除a）,记作b|a,读作“b整除a”或“a能被b整除”．它与除尽既有区别又有联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时,我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是,整除只有当被除数、除数以及商都是整数,而余数是零．除尽并不局限于整数范围内,被除数、除数以及商可以是整数,也可以是有限小数,只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况．
注：a or b作除数的其一为0则不叫整除
整除的一些性质为：
（1）如果a与b都能被c整除,那么a+b与a-b也能被c整除．
（2）如果a能被b整除,c是任意整数,那么积ac也能被b整除．
（3）如果a同时被b与c整除,并且b与c互质,那么a一定能被积bc整除．反过来也成立．
有关整除的一些概念：
整除有下列基本性质：
①若a｜b,a｜c,则a｜b±c.
②若a｜b,则对任意c,a｜bc.
③对任意a,±1｜a,±a｜a.
④若a｜b,b｜a,则｜a｜＝｜b｜.
对任意整数a,b,b＞0,存在唯一的整数q,r,使a＝bq＋r,其中0≤r＜b,这个事实称为带余除法定理,是整除理论的基础.
若c｜a,c｜b,则称c是a,b的公因数.若d是a,b的公因数,且d可被a,b的任意公因数整除则称d是a,b的最大公因数.当d≥0时,d是a,b公因数中最大者.若a,b的最大公因数等于1,则称a,b互素.累次利用带余除法可以求出a,b的最大公因数,这种方法常称为辗转相除法.又称欧几里得算法.
[编辑本段]整除的规律
整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除.
整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除.
整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除,那么这个数就能被3整除.
整除规则第四条（4）：最后两位能被4整除的数,这个数就能被4整除.
整除规则第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除.
整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除,那么这个数就能被6整除.
整除规则第七条（7）：把个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除.
整除规则第八条（8）：最后三位能被8整除的数,这个数就能被8整除.
整除规则第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除,那么这个数就能被9整除.
整除规则第十条（10）：若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除
整除规则第十一条（11）：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理!过程唯一不同的是：倍数不是2而是1!
整除规则第十二条（12）：若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除.
整除规则第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除.如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.
整除规则第十四条（14）：a 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除.如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.b 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除.
整除规则第十五条（15)：a 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除.如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.b 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除.
整除规则第十六条（16）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除,则这个数能被23整除
整除规则第十七条（17）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除,则这个数能被29整除
整除规则第十八条（18）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除,则这个数能被73整除
整除规则第十九条（19）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除,则这个数能被137整除
整除规律举例
整除规则第七条（7）：把个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除.
例：①147,截去个位数字后为14,用14-7*2=0,0是7的倍数,所以147也是7的倍数.
②2198,截去个位数字后为219,用219-8*2=203；继续下去,截去个位数字后为20,用20-3*2=14,14是7的倍数,所以2198也是7的倍数.
设p=a1+a2*10+a3*10^2+...+a(n-1)*10^(n-1)+an*10^n
q=a2+a3*10+...+a(n-1)*10^(n-2)+an*10^(n-1)-2a1
2p+q=21(a2+a3*10+...+an*10^(n-1))
又因为21=7*3,所以若p是7的倍数,那么可以得到q是7的倍数
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