Question

数列极限的证明方法介绍

Answer 1

　　数列极限的证明方法一

　　X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限

　　求极限我会

　　|Xn+1-A|<|Xn-A|/A

　　以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;

　　|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;

　　……

　　|X2-A|<|X1-A|/A;

　　向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)

　　只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

　　用数学归纳法：

　　①证明{x(n)}单调增加。

　　x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);

　　设x(k+1)>x(k)，则

　　x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)

　　=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。

　　数列极限的证明方法二

　　证明{x(n)}有上界。

　　x(1)=1<4，

　　设x(k)<4，则

　　x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。

　　当0

　　当0

　　构造函数f(x)=x*a^x(0

　　令t=1/a，则：t>1、a=1/t

　　且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

　　则：

　　lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

　　=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导)

　　=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

　　=1/(+∞)

　　=0

　　所以，对于数列n*a^n，其极限为0

　　数列极限的证明方法三

　　根据数列极限的定义证明：

　　(1)lim[1/(n的平方)]=0

　　n→∞

　　(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2

　　n→∞

　　(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0

　　n→∞

　　(4)lim0.999…9=1

　　n→∞n个9

　　5几道数列极限的证明题：

　　n/(n^2+1)=0

　　√(n^2+4)/n=1

　　sin(1/n)=0

　　实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了

　　第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

　　第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)

　　第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0

　　不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

　　lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

　　limsin(1/n)=lim[(1/n)*sin(1/n)/(1/n)]=lim(1/n)*lim[sin(1/n)]/(1/n)=0*1=0

　　数列的极限知识点归纳

　　一、间断点求极限

　　1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；

　　2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在；

　　3、渐近线，（垂直、水平或斜渐近线）；

　　4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。

　　二、下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。

　　（一）重要题型及点拨

　　1、求数列极限

　　求数列极限可以归纳为以下三种形式。

　　2、抽象数列求极限

　　这类题一般以选择题的形式出现，因此可以通过举反例来排除。此外，也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。

　　（二）求具体数列的极限，可以参考以下几种方法：

　　a、利用单调有界必收敛准则求数列极限。

　　首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性；其次，通过递推关系中取极限，解方程，从而得到数列的极限值。

　　b、利用函数极限求数列极限

　　如果数列极限能看成某函数极限的`特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。

　　（三）求项和或项积数列的极限，主要有以下几种方法：

　　a、利用特殊级数求和法

　　如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。

　　b、利用幂级数求和法

　　若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。

　　c、利用定积分定义求极限

　　若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项可用一个通项表示，则可以考虑用定积分定义求解数列极限。

　　d、利用夹逼定理求极限

　　若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项不能用一个通项表示，但是其余项是按递增或递减排列的，则可以考虑用夹逼定理求解。

　　e、求项数列的积的极限

　　一般先取对数化为项和的形式，然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。

　　数列极限存在条件

　　单调有界定理在实数系中，单调有界数列必有极限。

　　致密性定理任何有界数列必有收敛的子列。