Question

周期函数的导函数是周期函数吗?

Answer 1

是的。

周期函数是指f(x)=f(x+t),对定义域内的x,t是其周期。

则f'(x)=lim((f(x+Δx)-f(x))/Δx)。

=lim((f(x+t+Δx)-f(x+t))/Δx)=f'(x+t)。

所以f'(x)也是以t为周期的周期函数。

周期函数的性质共分以下几个类型:

(1)若T(≠0)是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。

(2)若T(≠0)是f(X)的周期，则nT(n为任意非零整数)也是f(X)的周期。

(3)若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。

(4)若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

(5)若T1、T2是f(X)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X)不存在最小正周期。

(6)周期函数f(X)的定义域M必定是至少一方无界的集合。

Answer 2

是周期函数。
而且与原函数的周期相等。周期函数是指f(x)=f(x+t)，对定义域内的x，t是其周期，则f'(x)=lim((f(x+Δx)-f(x))/Δx)=lim((f(x+t+Δx)-f(x+t))/Δx)=f'(x+t)，所以f'(x)也是以t为周期的周期函数。
对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。