Question

求一道题的步骤解析

Answer 1

把后面的∫sinlnxdx的积分求出来！

Answer 2

估计这道题应该是求这个积分的吧？
f(x) = ∫sin(lnx)dx
对于这道积分题，先使用分部积分法。令 u = sin(lnx), dv = dx。则有：du = cos(lnx) * dx/x，v = x。
那么就有：
f(x) = ∫u * dv
= u * v - ∫v * du
= x * sin(lnx) - ∫x * [cos(lnx) * dx/x]
= x * sin(lnx) - ∫cos(lnx) * dx ①
对于 g(x) = ∫cos(lnx) * dx 再次使用分部积分法。令 s = cos(lnx), dt = dx。则有：
ds = -sin(lnx) * dx/x，t = x。那么就有：
g(x) = ∫s * dt
= s * t - ∫t * ds
= x * cos(lnx) - ∫ x * [-sin(lnx) * dx/x]
= x * cos(lnx) + ∫sin(lnx) * dx ②
把 ② 式代入 ① 式，得到：
f(x) = ∫sin(lnx) * dx = x * sin(lnx) - x * cos(lnx) - ∫sin(lnx) * dx
可见，上术等式左、右两边都有 ∫sin(lnx) * dx。移项操作，整理后得到：
2∫sin(lnx) * dx = x * sin(lnx) - x * cos(lnx)
所以：
f(x) = ∫sin(lnx) * dx = x/2 * [sin(lnx) - cos(lnx)] + C