Question

洛必达法则求极限

lim(x→0)√（1+2sinx）-x-1/xln(1+x)

Answer 1

lim(x->0) [√(1+2sinx)-x-1]/[xln(1+x)]

ln(1+x) 等价于 x

=lim(x->0) [√(1+2sinx)-x-1]/x^2

=lim(x->0) [√(1+2sinx)-(x+1)]/x^2

分子分母同时乘以 [√(1+2sinx)+(x+1)]

=lim(x->0) [(1+2sinx)-(x+1)^2]/{ x^2. [√(1+2sinx)+(x+1)] }

=(1/2)lim(x->0) [(1+2sinx)-(x+1)^2]/x^2

=(1/2)lim(x->0) (2sinx-2x-x^2 )/ x^2

sinx等价于 x

=(1/2)lim(x->0) (-x^2 )/ x^2

=-1/2

Answer 2

lim(x->0) [√(1+2sinx)-x-1]/xln(1+x)
=lim(x->0) [cosx/√(1+2sinx)-1]/[ln(1+x)+x/(1+x)]
=lim(x->0) [cosx-√(1+2sinx)]/[(1+x)ln(1+x)+x]
=lim(x->0) [-sinx-cosx/√(1+2sinx)]/[ln(1+x)+2]
=(0-1)/(0+2)
=-1/2