Question

齐次方程的通解是什么？

Answer 1

齐次方程的通解，可以把齐次方程组的系数矩阵看成是向量组。

令自由元中一个版为 1 ，其余为 0 ，求得 n – r 个解向量，即为一个基础解系。齐次线性方程组AX= 0：若X1，X2… ，Xn-r为基础解系，则权X=k1 X1＋ k2 X2 +…+kn-rXn-r，即为AX= 0的全部解（或称方程组的通解）。

应用

"齐次"从词面上解释是"次数相等"的意思。

微分方程中有两个地方用到"齐次"的叫法：

1、形如y'=f(y/x)的方程称为"齐次方程"，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的，例如x^2,xy,y^2都算是二次项，而y/x算0次项，方程y'=1+y/x中每一项都是0次项，所以是"齐次方程"。

2、形如y''+py'+qy=0(其中p和q为关于x的函数)的方程称为"齐次线性方程"，这里"线性"是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',……的次数都是相等的(都是一次)，"齐次"是指方程中没有自由项(不包含y及其导数的项)，方程y''+py'+qy=x就不是"齐次"的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，因而就要称为"非齐次线性方程"。