Question

整式的乘法与除法

Answer 1

  在学了整式的加减法后，我想提前探索整式的乘除法。

  探索整式的乘除法，可以分类讨论。如图：下面的式子有什么特点？

这是两个式子相乘的结构，并且这两个式子都是单项式，是单项式的乘积。那么他又该怎么运算？它的运算法则是什么？直接看，感觉找不到任何规律，但是我们可以把它拆分一下，然后单独相乘，算出结果，再找规律。我们可以把这个式子化简计算一下，如图：

最终我得到了一个结果，这个时候看看能不能通过结果和原式相结合，找到一些规律。我发现在计算的时候需要先让数字相乘，连乘的时候顺序可以改变，数字和数字放到一起当然方便。接着就是把字母和字母放在一起，让字母和字母相乘。但是字母相乘的时候有没有什么简便的方法？我仔细观察了一下，可以让相同字母相乘，如果同样的字母相乘，底数不变，指数相加，这就是同底数幂的乘法、最后再让字母乘积乘数字乘积，因此我们就得到了一个单项式乘积的规律，在运算的时候，数字与数字相乘，字母与字母相乘，相同字母相乘底数不变，指数相加，最后再让字母和数字相乘。这个式子也可以转化为除法形式计算，因为除一个数等于乘它的倒数。遇到多项式除法也可以转化成乘法，然后再利用刚才发现的法则来计算。

  接下来再看一组式，如图：

这一组式有什么规律？我发现这一组式是多项式与单项式的乘积，那这一组式又有什么运算法则？还是先化简计算，看有什么规律。如图：

现在再结合原式，我发现了一个规律。在计算的时候首先要去括号，利用乘法分配律，接着就变成了多个单项式的加减法，此时就可以运用单项式乘积的规律来运算，数字与数字相乘，字母与字母相乘，相同字母相乘底数不变，指数相加。这就是单项式乘多项式的运算法则。遇到多项式除单项式时也可以转化成乘法，然后再利用刚才发现的法则来计算。

  再让我们看一组式子，如图：

这个式子有什么规律？这是多项式的乘积，我准备通过化简计算得到结果，然后再找到规律，如图：

我发现在计算多项式乘积的时候，可以让一个多项式与另外一个多项式中的每一项分别相乘，最后再把积加/减。现在我们在遇到任何一个多项式时都可以轻松的解决，用这个规律，可以计算一下下列的算式，如图：

如果直接算的话确实可以得到结果的，但如果数很大就很麻烦了，我们能不能再转化成多项式的乘积？比如11×13，我发现11就是12-1，13是12+1，就是这两个级数中间的偶数分别-1，+1。这个时候再运用我们得到的规律就可以算出结果。

  再让我们看一个式子，如图：

这个式子有什么规律，它的运算法则是什么？这些式子都是多项式的平方。我准备先通过计算得到结果，然后再找到规律，如图：

我们可以利用乘法分配律将原式化简，最终得到的结果和原式有什么关系？我发现其实就是两个字母的平方分别相加，再加上两个字母的乘积乘平方。既然有（a+b）的平方，我们可不可以再探索一下（a-b）的平方？他与（a+b）的平方有什么联系？我发现a-b其实就是a+（-b），接下来我们继续将它进行拆分计算，如图：

我发现结果和之前几乎一样，只不过最后不是+2ab，是-2ab，两者之间看似完全不一样，但其实也有着很大的联系。

  现在我们就已经将整式的乘除法探究了一遍，并且得到了他们的运算法则，从刚开始一步步计算，找到规律，最后总结为一个普遍的计算运算法则，很多看似完全不一样的算式，也有着惊人的联系。