Question

关于三角形的题目（超难！！）

24、如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC上任意一点，∠ADE=60，DE与∠ACB的外角的平分线CE相交于点E。
（1）当D在BC上运动时，AD与DE是否总相等？说明你的理由；
（2）当点D为BC延长线上的任意一点时（其它条件不变，如图2），请猜想（1）中的结论是否依然成立，若成立，给出证明；若不成立，说明理由。

Answer 1

过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H
则CH=AC×sin60°=√3/2
AH=AC×cos60°=1/2
BC=CH/sin80°=√3/(2sin80°)
BH=CH×ctan80°=(√3/2)ctan80°
∴AB=AH-BH=1/2-(√3/2)ctan80°
S△ABC=(1/2)AB×CH=√3/8-(3/8)ctan80°

CE=1/2BC=√3/(4sin80°)
由∠DCE=180-60-100=20°
∠DEC＝80°
得，△CDE为等腰三角形。
CD=CE=√3/(4sin80°)
S△CDE=(1/2)CD×CE×sin20°
sin20°=sin160°=sin(2×80°)=2sin80°cos80°
代入，
S△CDE=(3/16)ctan80°

∴S△ABC+S△CDE
=√3/8-(3/8)ctan80°+(3/16)ctan80°
=√3/8-(3/16)ctan80°
以下如需计算出精确值，需借助于计算器算出ctan80°的值方可。

PS：如果原题改成求S△ABC+2S△CDE，
则ctan80°刚好可以消去。
S△ABC+2S△CDE
=√3/8-(3/8)ctan80°+2×(3/16)ctan80°
=√3/8
此外，如果原题改成求S△ABC+2S△CDE，也可以利用初中几何知识，如全等三角形和相似三角形的性质来解，方法如下：

延长AB至F，使AF=AC.作∠BCF平分线交AF于G
AF=AC，∠A＝60°
∴△ACF为等边三角形
易证△ABC≌△FGC
S△ABC=S△FGC

CB=CG
△CBG为等腰三角形。顶角∠BCG=(60-20)/2=20°

△CDE中，∠DCE=180-60-100=20°
∠DEC＝80°，
∴∠EDC＝180-20-80=80°
△CDE为顶角20°的等腰三角形。

∴△CDE∽△CBG
又CE=1/2CB
∴S△CDE=1/4S△CBG

∴S△ABC+2S△CDE
=1/2(S△ABC+S△FGC)+1/2(S△CBG)
=1/2S△ACF
=1/2×(1/2×1×√3/2)
=√3/8

Answer 2

（1）当D在BC上运动时，AD与DE总相等 。
（2）当点D为BC延长线上的任意一点时（其它条件不变)，（1）中的结论依然成立。