Question

初三数学：圆

任意△ABC，内接圆切AB于M，切BC于D，切AC于N，
连AD，交圆于E，取DE中点P，连PB，PC，
求证：∠BPD=∠CPD。

Answer 1

<BAD=<CAD,<ABO=<ACO
<BPD=<BAD+<ABO
<CPD=<CAD+<ACO
<BPD=<CPD

Answer 2

解（1）∵AD//BC,
∴只要QC＝PD，四边形PQCD为平行
四边形，
此时，有3t=24-t，解得t=6.
即当t＝6秒时，四边形PQCD为平行
四边形，
同理，只要PQ＝CQ，PD≠QC，四边形
PQCD为等腰梯形.
过P、D分别作BC得垂线交BC于E、F
两点，则由等腰梯形的性质可知：
EF=PD，QE=FC=2，QC–PD=4.
∴3t–(24–t)=4, 解得t=7.
∴当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形.
（2）如图（例3图2），设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G，
过P作PH⊥BC，垂足为H.
∴PH=AB，BH=AP.
即PH=8,HQ=26–4t,
由切线长定理，得
PH=AP+BQ=t+26-3t=26–2t
由勾股定理, 得PQ2= PH2+HQ2
即（26–2t）2=82 + (26–4t)2
化简整理，得3t2–26t+16=0,
解得t1= ，t2=8，
即当t= 秒或t=8秒时，直线PQ与⊙O相切.
∵t=0秒时，PQ与⊙O相交；当t=8 秒时，Q点运动到B点，P点尚未运动到D点，但也停止运动，此时PQ也与⊙O相交；
当t= 或8秒时，直线PQ与⊙O相切；当0≤t＜ 或8＜t≤8 时，直线PQ与⊙O相交；当 ＜t＜8时，直线PQ与⊙O相离.