Question

求高数大神解答😢

为什么这道题不能用图二这种形式计算呢？求解答😭

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Answer 1

先从类似图一的处理方式入手，可以找到图二可能的问题：

推导时注意：x*o(x)=o(x^2)

因为是让x趋于0，还是分式，所以只用看分子分母具有非零系数的最低次项。实际上就是用了泰勒展开，可以在推导过程中看出你的图二是否忽略掉了一些不该忽略的项。

分子分母的x^2系数比为3/2，这和答案是一致的。

现在你看我图中对分子的分析过程，你会发现有一个x^2项的系数是e^x贡献的，这在你图二里是没有体现的，这是错误发生的直接原因。

为什么会有这样的错误产生？我的观点是，你图二的第一步代换有问题，也就是直接将第一个分式的分母化为了x。

我们看这种代换问题在哪：

如上图所示。反观图二，极限里的这两项（尚未通分的时候），合起来极限存在，但每一项都是发散到无穷的，你如果只对第一项做代换、第二项不管，再通分，这里就会出现问题。

Answer 2

所有等价无穷小代换都有高阶无穷小损失,在有些情况下这种损失可以忽略,而有的情况下则不行
e^x一阶近似为1+x,二阶近似为1+x+x^2/2

我们以二阶近似带入进行对比
(e^x+xe^x)/(x+x^2/2) - 1/x
=(e^x+xe^x-1-x/2)/(x+x^2/2)
差别在于分子上此时出现了一个-x/2
而这个和xe^x是同阶得,你等于忽略了一个严重影响结果得高阶无穷小,所以不行